有限数学示例

$5 [\begin{array}{c} 6 & - 9 \\ - 3 & - 7 \end{array}]$

解题步骤 1

将 $5$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} 5 \cdot 6 & 5 \cdot - 9 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

解题步骤 2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 2.1

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$[\begin{array}{c} 30 & 5 \cdot - 9 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

解题步骤 2.2

将 $5$ 乘以 $- 9$ 。

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ 5 \cdot - 3 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

解题步骤 2.3

将 $5$ 乘以 $- 3$ 。

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ - 15 & 5 \cdot - 7 \end{array}]$

解题步骤 2.4

将 $5$ 乘以 $- 7$ 。

$[\begin{array}{c} 30 & - 45 \\ - 15 & - 35 \end{array}]$

解题步骤 3

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

解题步骤 4

Find the determinant.

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解题步骤 4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$30 \cdot - 35 - (- 15 \cdot - 45)$

解题步骤 4.2

化简行列式。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

将 $30$ 乘以 $- 35$ 。

$- 1050 - (- 15 \cdot - 45)$

解题步骤 4.2.1.2

乘以 $- (- 15 \cdot - 45)$ 。

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解题步骤 4.2.1.2.1

将 $- 15$ 乘以 $- 45$ 。

$- 1050 - 1 \cdot 675$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $675$ 。

$- 1050 - 675$

解题步骤 4.2.2

从 $- 1050$ 中减去 $675$ 。

$- 1725$

解题步骤 5

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

解题步骤 6

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 1725} [\begin{array}{c} - 35 & 45 \\ 15 & 30 \end{array}]$

解题步骤 7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{1725} [\begin{array}{c} - 35 & 45 \\ 15 & 30 \end{array}]$

解题步骤 8

将 $- \frac{1}{1725}$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{1725} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 9.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

将 $- \frac{1}{1725}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{1725} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.1.2

从 $1725$ 中分解出因数 $5$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 (345)} \cdot - 35 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.1.3

从 $- 35$ 中分解出因数 $5$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 345} \cdot (5 \cdot - 7) & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.1.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{5 \cdot 345} \cdot (5 \cdot - 7) & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.1.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{345} \cdot - 7 & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.2

组合 $\frac{- 1}{345}$ 和 $- 7$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{- - 7}{345} & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 7$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.4

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

将 $- \frac{1}{1725}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{1725} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.4.2

从 $1725$ 中分解出因数 $15$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 45 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.4.3

从 $45$ 中分解出因数 $15$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 3) \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.4.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 3) \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.4.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1}{115} \cdot 3 \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.5

组合 $\frac{- 1}{115}$ 和 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 1 \cdot 3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & \frac{- 3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.7

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.8

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 9.8.1

将 $- \frac{1}{1725}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{1725} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.8.2

从 $1725$ 中分解出因数 $15$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.8.3

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot 15 & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.8.4

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ \frac{- 1}{115} & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.9

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & - \frac{1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.10

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 9.10.1

将 $- \frac{1}{1725}$ 中前置负号移到分子中。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{1725} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.10.2

从 $1725$ 中分解出因数 $15$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 (115)} \cdot 30 \end{array}]$

解题步骤 9.10.3

从 $30$ 中分解出因数 $15$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 2) \end{array}]$

解题步骤 9.10.4

约去公因数。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{15 \cdot 115} \cdot (15 \cdot 2) \end{array}]$

解题步骤 9.10.5

重写表达式。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1}{115} \cdot 2 \end{array}]$

解题步骤 9.11

组合 $\frac{- 1}{115}$ 和 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 1 \cdot 2}{115} \end{array}]$

解题步骤 9.12

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & \frac{- 2}{115} \end{array}]$

解题步骤 9.13

将负号移到分数的前面。

$[\begin{array}{c} \frac{7}{345} & - \frac{3}{115} \\ - \frac{1}{115} & - \frac{2}{115} \end{array}]$

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